Álgebra lineal /
Juan de Burgos Román.
- Madrid: McGraw-Hill, 1993
- 796 p.
CONTENIDO PROLOGO PARTE I. INICIACION: LINEALIDAD Y RANGO Introducción 2 Capítulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales; el método de Gauss 3 Primeras definiciones Equivalencia 3 Sistemas de ecuaciones lineales 3 Sistemas equivalentes 8 El método de Gauss 12 Matrices escalonadas y sistemas escalonados 12 El método de Gauss 16 Sistemas homogéneos con menos ecuaciones que incógnitas 21 Capítulo 2. Rango (de vectores y de matrices) 22 Vectores de n componentes 22 El espacio vectorial Kn 23 Dependencia e independencia lineal 26 Rango de un sistema de vectores 30 Rango. Operaciones elementales 30 Cálculo del rango de un sistema de vectores 34 Rango de una matriz 36 Existencia y cálculo del rango 36 Matrices equivalentes 40 Capítulo 3. Operaciones con matrices; matriz inversa 42 Matrices; álgebra de matrices 43 Primeras definiciones 43 Producto de matrices 46 Traspuesta de una matriz 54 Relación entre las operaciones elementales y el producto 55 Multiplicación de matrices por bloques 60 Matrices invertibles 62 Definición y primeras propiedades 62 Cálculo efectivo de la inversa 65 Caracterizaciones de las matrices invertibles 67 Capítulo 4. Determinantes 70 Definición y valor de un determinante 71 Determinante de una matriz cuadrada 72 Expresión del valor de un determinante 75 Cálculo efectivo de un determinante 83 Propiedades: desarrollo de un determinante, determinante de la matriz inversa 85 Determinante de un producto: consecuencia 85 Desarrollo por los elementos de una línea 87 Matriz inversa 91 Rango de menores de una matriz 93 Teoremas de Cramer y de Rouché 96 Sistemas de Cramer 98 Teorema de Rouché 99 PARTE II. ALGEBRA LINEAL Capítulo 5. Espacios vectoriales 116 Espacios, subespacios y combinaciones lineales 116 Concepto de espacio vectorial 116 Subespacios vectoriales 118 Dependencia e independencia lineal 120 Bases. Coordenadas 126 Espacios de dimensión finita 126 Coordenadas 132 Rango de un sistema de vectores 137 Suma de subespacios 139 Suma y suma directa 139 Dimensión de la suma 146 Capítulo 6. Aplicaciones lineales 149 Aplicaciones lineales 149 Definición y propiedades 149 Isomorfismos 156 Matrices de las aplicaciones lineales 160 Ecuaciones y matriz de una aplicación lineal 160 Matrices equivalentes 167 Operaciones con aplicaciones lineales 175 Espacios vectoriales de homomorfismos y de matrices 176 Anillo de endomorfismos Matrices invertibles 179 Sistemas de ecuaciones lineales 185 Variedades afines 186 Teorema de Rouché 188 Espacio dual 190 Espacio dual 190 Aplicación dual o traspuesta 193 PARTE III Capítulo 7. Formas cuadráticas 208 Formas cuadráticas Conjugación 208 Formas bilineales 208 Formas cuadráticas 218 Conjugación respecto de una forma cuadrática 224 Diagonalización de una forma cuadrática 231 Forma diagonal (congruencia) 231 Diagonalización efectiva de una forma cuadrática 234 Formas cuadráticas reales 239 Formas definidas y ley de inercia 240 Expresión canónica de una forma cuadrática 246 Capítulo 8. Espacios vectoriales euclídeos 253 Producto escalar 254 Producto escalar de vectores 254 Normas y ángulos 259 Vectores ortogonales y ortonormales 266 Bases ortonormales 267 Proyección ortogonal 277 Transformaciones ortogonales 284 Transformaciones ortogonales 285 Matrices ortogonales 290 Transformaciones ortogonales en 2 y 3 dimensiones 296 Producto mixto y producto vectorial 303 Producto mixto 304 Producto vectorial 307 PARTE IV Capítulo 9. Diagonalización de endomorfismos y de matrices 326 Autovalores y autovectores 326 Autovalores y autovectores Polinomio característico 326 Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor 336 Complejificación de un espacio vectorial real 341 Endomorfismos diagonalizables 345 Diagonalización (por semejanza) 345 Diagonalización ortogonal 353 Diagonalización por bloques de una transformación ortogonal 363 Subespacios invariantes de una transformación ortogonal 364 Forma canónica de una transformación ortogonal 369 Capítulo 10. Forma canónica de Jordan 376 Forma de Jordan de una matriz 377 Diagonalización en bloques triangulares 377 Forma canónica de Jordan 384 Obtención de la forma de Jordan 398 Tamaño de los bloques de Jordan 399 Matriz de paso a la forma de Jordan 402 PARTE V. GEOMETRICA CARTESIANA Capítulo 11. Los espacios geométricos E2 y E3 426 Axiomas y definiciones 426 Los espacios geométricos bi y tridimensionales 427 Las rectas y los planos 430 Geometría plana (afín y euclídea) 433 Problemas afines (en el plano E2) 433 Problemas euclídeos (en el plano E2) 441 Geometría tridimensional (afín y euclídea) 452 Ecuaciones de rectas y planos 452 Posiciones relativas de rectas y planos 459 Angulos y distancias (en E3) 470 Espacio afín ampliado En (n) 485 Coordenadas homogéneas 485 Espacio afín ampliado (o proyectivizado) 491 Capítulo 12. Espacios puntuales (caso general) 498 Espacios afín y afín euclídeo 498 Los espacios puntuales 499 Coordenadas cartesianas 505 Variedades lineales afines 509 Variedades lineales de dimensión finita 512 Cuestiones de carácter afín 518 Intersección y suma de variedades lineales 518 Coordenadas baricéntricas 522 Cuestiones de carácter euclídeo 527 Ortogonalidad y mínima distancia 527 La esfera 533 PARTE VI Capítulo 13. Cónicas y cuadráticas: estudios particular 552 Estudio particular de las cónicas 552 Las tres cónicas 553 Primeras propiedades de las cónicas 562 Estudio particular de las cuadráticas 573 Las cinco cuadráticas 573 Primeras propiedades de las cuadráticas 587 Capitulo 14. Cónicas y cuadráticas: análisis afín y métrico 599 Las cónicas 599 Las cónicas: ecuación y primeras propiedades 600 Análisis afín de las cónicas 613 Análisis métrico de las cónicas 623 Las cuaráticas 631 Las cuaráticas: estudio proyectivo 632 Análisis afín de las cuadráticas 655 Análisis métrico de las cuadráticas 669 APENDICES 0. Introducción 691 1. Nociones sobre lógica 694 2. Algo acerca de la teoría intuitiva de conjuntos 702 3. Aplicaciones o funciones 709 4. Relaciones de equivalencia 716 5. Relaciones de orden 724 6. Cardinal de un conjunto 728 7. Estructuras algebraicas 734 8. Grupos 744 9. Anillos 756 10. Cuerpos 765 11. Los ángulos y su medida 769 12. Notas, observaciones y complementos 778 Alfabeto griego 787 Indice 789
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PROBLEMAS DE ALGEBRA ALGEBRA LINEAL GEOMETRIA PROBLEMAS DE GEOMETRIA SISTEMAS ECUACIONES LINEALES VECTORES MATRICES DETERMINANTES ESPACIOS VECTORIALES APLICACIONES LINEALES FORMAS CUADRATICAS ESPACIOS VECTORIALES DIAGONALIZACION DE ENDOMORFISMOS GEOMETRIA CARTESIANA CONICAS CUADRATIVAS GRUPOS ANILLOS CUERPOS RELACIONES LOGICA