CONTENIDO
PROLOGO
PARTE I. INICIACION: LINEALIDAD Y RANGO
Introducción 2
Capítulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales; el método de Gauss 3
Primeras definiciones Equivalencia 3
Sistemas de ecuaciones lineales 3
Sistemas equivalentes 8
El método de Gauss 12
Matrices escalonadas y sistemas escalonados 12
El método de Gauss 16
Sistemas homogéneos con menos ecuaciones que incógnitas 21
Capítulo 2. Rango (de vectores y de matrices) 22
Vectores de n componentes 22
El espacio vectorial Kn 23
Dependencia e independencia lineal 26
Rango de un sistema de vectores 30
Rango. Operaciones elementales 30
Cálculo del rango de un sistema de vectores 34
Rango de una matriz 36
Existencia y cálculo del rango 36
Matrices equivalentes 40
Capítulo 3. Operaciones con matrices; matriz inversa 42
Matrices; álgebra de matrices 43
Primeras definiciones 43
Producto de matrices 46
Traspuesta de una matriz 54
Relación entre las operaciones elementales y el producto 55
Multiplicación de matrices por bloques 60
Matrices invertibles 62
Definición y primeras propiedades 62
Cálculo efectivo de la inversa 65
Caracterizaciones de las matrices invertibles 67
Capítulo 4. Determinantes 70
Definición y valor de un determinante 71
Determinante de una matriz cuadrada 72
Expresión del valor de un determinante 75
Cálculo efectivo de un determinante 83
Propiedades: desarrollo de un determinante, determinante de la matriz inversa 85
Determinante de un producto: consecuencia 85
Desarrollo por los elementos de una línea 87
Matriz inversa 91
Rango de menores de una matriz 93
Teoremas de Cramer y de Rouché 96
Sistemas de Cramer 98
Teorema de Rouché 99
PARTE II. ALGEBRA LINEAL
Capítulo 5. Espacios vectoriales 116
Espacios, subespacios y combinaciones lineales 116
Concepto de espacio vectorial 116
Subespacios vectoriales 118
Dependencia e independencia lineal 120
Bases. Coordenadas 126
Espacios de dimensión finita 126
Coordenadas 132
Rango de un sistema de vectores 137
Suma de subespacios 139
Suma y suma directa 139
Dimensión de la suma 146
Capítulo 6. Aplicaciones lineales 149
Aplicaciones lineales 149
Definición y propiedades 149
Isomorfismos 156
Matrices de las aplicaciones lineales 160
Ecuaciones y matriz de una aplicación lineal 160
Matrices equivalentes 167
Operaciones con aplicaciones lineales 175
Espacios vectoriales de homomorfismos y de matrices 176
Anillo de endomorfismos Matrices invertibles 179
Sistemas de ecuaciones lineales 185
Variedades afines 186
Teorema de Rouché 188
Espacio dual 190
Espacio dual 190
Aplicación dual o traspuesta 193
PARTE III
Capítulo 7. Formas cuadráticas 208
Formas cuadráticas Conjugación 208
Formas bilineales 208
Formas cuadráticas 218
Conjugación respecto de una forma cuadrática 224
Diagonalización de una forma cuadrática 231
Forma diagonal (congruencia) 231
Diagonalización efectiva de una forma cuadrática 234
Formas cuadráticas reales 239
Formas definidas y ley de inercia 240
Expresión canónica de una forma cuadrática 246
Capítulo 8. Espacios vectoriales euclídeos 253
Producto escalar 254
Producto escalar de vectores 254
Normas y ángulos 259
Vectores ortogonales y ortonormales 266
Bases ortonormales 267
Proyección ortogonal 277
Transformaciones ortogonales 284
Transformaciones ortogonales 285
Matrices ortogonales 290
Transformaciones ortogonales en 2 y 3 dimensiones 296
Producto mixto y producto vectorial 303
Producto mixto 304
Producto vectorial 307
PARTE IV
Capítulo 9. Diagonalización de endomorfismos y de matrices 326
Autovalores y autovectores 326
Autovalores y autovectores Polinomio característico 326
Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor 336
Complejificación de un espacio vectorial real 341
Endomorfismos diagonalizables 345
Diagonalización (por semejanza) 345
Diagonalización ortogonal 353
Diagonalización por bloques de una transformación ortogonal 363
Subespacios invariantes de una transformación ortogonal 364
Forma canónica de una transformación ortogonal 369
Capítulo 10. Forma canónica de Jordan 376
Forma de Jordan de una matriz 377
Diagonalización en bloques triangulares 377
Forma canónica de Jordan 384
Obtención de la forma de Jordan 398
Tamaño de los bloques de Jordan 399
Matriz de paso a la forma de Jordan 402
PARTE V. GEOMETRICA CARTESIANA
Capítulo 11. Los espacios geométricos E2 y E3 426
Axiomas y definiciones 426
Los espacios geométricos bi y tridimensionales 427
Las rectas y los planos 430
Geometría plana (afín y euclídea) 433
Problemas afines (en el plano E2) 433
Problemas euclídeos (en el plano E2) 441
Geometría tridimensional (afín y euclídea) 452
Ecuaciones de rectas y planos 452
Posiciones relativas de rectas y planos 459
Angulos y distancias (en E3) 470
Espacio afín ampliado En (n) 485
Coordenadas homogéneas 485
Espacio afín ampliado (o proyectivizado) 491
Capítulo 12. Espacios puntuales (caso general) 498
Espacios afín y afín euclídeo 498
Los espacios puntuales 499
Coordenadas cartesianas 505
Variedades lineales afines 509
Variedades lineales de dimensión finita 512
Cuestiones de carácter afín 518
Intersección y suma de variedades lineales 518
Coordenadas baricéntricas 522
Cuestiones de carácter euclídeo 527
Ortogonalidad y mínima distancia 527
La esfera 533
PARTE VI
Capítulo 13. Cónicas y cuadráticas: estudios particular 552
Estudio particular de las cónicas 552
Las tres cónicas 553
Primeras propiedades de las cónicas 562
Estudio particular de las cuadráticas 573
Las cinco cuadráticas 573
Primeras propiedades de las cuadráticas 587
Capitulo 14. Cónicas y cuadráticas: análisis afín y métrico 599
Las cónicas 599
Las cónicas: ecuación y primeras propiedades 600
Análisis afín de las cónicas 613
Análisis métrico de las cónicas 623
Las cuaráticas 631
Las cuaráticas: estudio proyectivo 632
Análisis afín de las cuadráticas 655
Análisis métrico de las cuadráticas 669
APENDICES
0. Introducción 691
1. Nociones sobre lógica 694
2. Algo acerca de la teoría intuitiva de conjuntos 702
3. Aplicaciones o funciones 709
4. Relaciones de equivalencia 716
5. Relaciones de orden 724
6. Cardinal de un conjunto 728
7. Estructuras algebraicas 734
8. Grupos 744
9. Anillos 756
10. Cuerpos 765
11. Los ángulos y su medida 769
12. Notas, observaciones y complementos 778
Alfabeto griego 787
Indice 789